Los fractales
son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los
define a través de cálculos con números complejos en el plano.
Un fractal
es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se
repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que
significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo
fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que
su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es
reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas
desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy
denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo
XX en el seno de la teoría de la medida.
Un fractal natural
es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema
circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales.
Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos
fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo
natural.
Fractal Natural
Como ya se ha mencionado, un fractal es una función que pertenece al conjunto de números
complejos. Ejemplos de ello son:
.jpg/220px-Julia_set_(C_=_0.285,_0.01).jpg)
Conjunto de Julia, un fractal. C = [-0.285, 0.01].
Investigar:
2.Ecuación para el Conjunto
de Julia y el conjunto de Mandelbrot con su representación gráfica (Especificar el ejemplo).
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos.
ResponderEliminarControversiasntro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.
EliminarBiografía de benoit mandelbrot investigada por georgenis Peraza y Luzardo mayor argumento en el trabajo en físico profe
nota: nos costó responder por perdida de contra seña de correo gmail uff pero bueno hoy con artificios lo logramos
A continuación se detallan la diversas potencias de Z, en su parte Real y su parte Imaginaria, mediante la iteración de las mismas, usando el algoritmo de la velocidad de escape al infinito, se han construido los fractales mostrados en las secciones anteriores. Como puede observarse en los desarrollos de las diferentes fórmulas, aparecen los coeficientes del triángulo de Pascal.
ResponderEliminarZ^2 = (x+iy)^2 \mathrm{Real} = x^2 - y^2 \mathrm{Imag} = 2 x y
Z^3 = (x+iy)^3 \mathrm{Real} = x^3 - 3 y^2 x \mathrm{Imag} = 3 x^2 y - y^3
Z^4 = (x+iy)^4 \mathrm{Real} = x^4 - 6 x^2 y^2 + y^4 \mathrm{Imag} = 4x^3 y - 4 x y^3
Z^5 = (x+iy)^5 \mathrm{Real} = x^5 - 10 x^3 y^2 + 5 x y^4 \mathrm{Imag} = 5x^4 y - 10 x^2 y^3 + y^5
Benoit Mandelbrot
ResponderEliminar(1924/11/20 - 2010/10/14)
Matemático polaco nacionalizado francés
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Warsaw, Polonia.
Su familia emigra a Francia en 1936 y su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamardost en este puesto, toma responsabilidad de su educación.
Cursó estudios en universidades de Francia y de Estados Unidos, doctorándose en Matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Profesor de economía en la Universidad de Harvard, ingeniería en Yale, fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y Matemáticas en París y Ginebra.
Principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza, en su libro "Fractal Geometry of Nature" publicado en 1982. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.
Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York. En 1985 recibió el premio "Barnard Medal for Meritorious Service to Science". En los años siguientes recibió la "Franklin Medal". En 1987 fue galardonado con el premio "Alexander von Humboldt"; también recibió la "Medalla Steindal" en 1988 y muchos otros premios, incluyendo la "Medalla Nevada" en 1991.
Benoit Mandelbrot falleció en Cambridge, Massachusetts, Estados Unidos, el 14 de octubre de 2010.
Gaston Maurice Julia
El matemático Gaston Maurice Julia nació el 3 de Febrero de 1893 en Sidi Bel Abbès, Algeria. Fallece el 19 de marzo de 1978 en París, Francia. Gaston Julia fue, exactamente, uno de los padres de la Teoría de Sistemas Dinámicos moderna, recordado por lo que hoy es llamado el Conjunto de Julia o el Set de Julia.
Cuando sólo tenía 25 años publicó su obra maestra de 199 páginas, titulada "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles" que lo hace famoso en todo el ámbito matemático.
En la Primera Guerra Mundial, Julia toma parte, siendo seriamente dañado en un ataque en el frente Francés. Muchos otros resultaron heridos y muertos. Julia pierde su nariz, viéndose obligado a usar una capucha negra que le cubriría la cara por el resto de su vida. Durante muchas operaciones al rostro, el llevó a cabo sus estudios matemáticos en los diferentes hospitales en que le tocó estar.
Después se convirtió en un destacado profesor en el École Polytechnique de Paris, desarrollando al máximo sus teorias, pese a que muchas de ellas fueron despreciadas por algunos matemáticos considerados importantes en esos tiempos.
En 1918 Julia publicó un hermoso libro, "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles, Journal de Math. Pure et Appl. 8" (1918), concerniente a la iteración de una función racional f. Sus descubrimientos le valieron ganar el "Grand Prix de l'Académie des Sciences".
Se organizaron seminarios en Berlín, en 1925 para estudiar su trabajo, que ya había limpiado la imagen que dejó años atrás cuando practicamente se burlaron de él.
Desde su fama en 1920, su trabajo fue esencialmente olvidado, hasta que Benoit Mandelbrot lo hizo volver a resurgir en 1970 con sus experimentos computacionales. Un hombre que triunfó muy joven, y que tan rápido como su triunfo, fue trágicamente olvidado.
Benoit B Mandelbrot.
ResponderEliminarMatemático, realiza estudios sobre geometría fractal. Mostró cómo los fractales pueden aparecer en muchos ámbitos diferentes, tanto en matemáticas como en otros aspectos de la naturaleza. Nació el 20 de noviembre de 1924, En 1944 comenzó sus estudios en la Escuela politécnica, al finalizar fue a los Estados Unidos donde estuvo en el Caltech (California Institute of Technology). Después de obtener un doctorado otorgado por la Universidad de París, estuvo en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
Benoît Mandelbrot recibió su diploma de la Escuela Politécnica de París en 1947, su Maestría de Ciencias en Aeronáutica del Instituto Tecnológico de California en 1948 y su Doctorado en Ciencias Matemáticas de la Universidad de París en 1952. De 1949 a 1957, trabajó en el Centro Nacional de Investigaciones Científicas (Francia), se desempeñó como profesor de matemáticasen Ginebra, Suiza, entre 1955 y 1957, y en la Escuela Politécnica de París en 1957-1958.
Poco después, se trasladó a los Estados Unidos, y se integró a International Business Machines (IBM) en 1958. Mientras trabajaba para IBM, se especializó en el estudio de procesos con propiedades estadísticas poco usuales y sus características geométricas, lo que luego culminó con sus contribuciones a la Geometría Fractal. Fue miembro de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias; la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos; la Academia Europea de Artes, Ciencias y Humanidades; la Academia IBM de Tecnología, y la Academia Noruega de Ciencias y Letras.
Contribuciones:
Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.
En 1982 publicó su libro La geometría fractal de la Naturaleza, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. El libro se convirtió en una de las obras más influyentes en su campo.
El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.
Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana , que han sido suavizados artificialmente.
Reconocimietos:
Ha recibido numerosos premios, medallas y condecoraciones por sus contribuciones entre las que se destacan:
Medalla Barnard (1985), por servicios meritorios a la ciencia.
Medalla Franklin(1985).
Premio Alexander von Humboldt(1987).
Medalla Charles Proteus Steinmetz (1988) Premio John Scott (1999)
Medalla Lewis Fry Richardson (1999)
Medalla de la Presidencia de la República Italiana (1999)
Premio William Procter al Logro Científico (2002)
Entre otros premios.
Gaston Maurice Julia.
ResponderEliminarMatemático francés que llevó a cabo diversas investigaciones sobre teoría de los números y sobre geometría. También se dedicó a estudiar la teoría de funciones y el cálculo funcional.
Nació el 3 de febrero de 1893 en Sidi Bel Abbès, Algeria. Fue exactamente, uno de los padres de la teoría de Sistemas Dinámicos moderna, recordado por lo que hoy es llamado el Conjunto de Julia o el Set de Julia. Al iniciar sus estudios primarios atrajo la atención debido a su inteligencia. el 4 de agosto de 1914 que fue llamado a la incorporación del servicio militar. A partir de la fecha Julia se convirtió en un soldado corporal desarrollandose como teniente. Ejerciendo este cargo dirigió a sus tropas para una acción convirtiendose en una lucha muy dura. Fue entonces cuando de repente fue alcanzado por una bala que hirió su rostro, llenandose de lágrimas. De vuelta al cuartel no emitió apenas palabras, así que escribió en un pedazo de papel que no le gustaría ser exento del servicio militar y así fue llevadon al hospital militar, donde los médicos trataron de improvisar numerosas operaciones de cirugía pues no pudieron recomponer la nariz y tuvo que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.En su vida no tuvo mucha fama.
Publicaciones y premios.
Cuando sólo tenía 25 años publicó su obra maestra de 199 páginas, titulada "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles" que lo hace famoso en todo el ámbito matemático. Este un hermoso libro, le permitió ser galardonado por el gran premio por la Academia de las Ciencias Francesa.. Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées.
Después se convirtió en un destacado profesor en el École Polytechnique de Paris, desarrollando al máximo sus teorias, pese a que muchas de ellas fueron despreciadas por algunos matemáticos considerados importantes en esos tiempos.
Se organizaron seminarios en Berlín, en 1925 para estudiar su trabajo, que ya había limpiado la imagen que dejó años atrás cuando practicamente se burlaron de él.
Conjuntos de Julia y Mandelbrot
ResponderEliminarLos conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c.
Cuando el valor de c se hace muy pequeño (mucho menor que uno) el conjunto de Julia se hace no computable. Este es el caso del fractal de Mandelbrot.
Biografías de Benoît Mandelbrot
ResponderEliminarBenoit Mandelbrot, matemático polaco, falleció el pasado 14 de octubre, Mandelbrot es una de las pocas personas que ha sido capaces de crear una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal, con gran interés tanto por la teoría como por las aplicaciones de los resultados obtenidos.
Benoit Mandelbrot nació en Varsovia el 20 de noviembre de 1924 dentro de una familia con cierta tradición académica (aunque su padre se ganaba la vida con la compra-venta de ropa). Fueron dos tíos suyos quienes se encargaron de introducir a Mandelbrot en el mundo de las matemáticas. Uno de ellos, Szolem Mandelbrojt, se encargó de su educación cuando la familia Mandelbrot emigró a Francia en 1936.
El hecho de que Mandelbrot estudiara en la época de la Primera Guerra Mundial, entre otras cosas, provocó que su educación no fuera convencional. El propio Mandelbrot atribuye gran parte de su éxito matemático a esta educación poco convencional, ya que ello le permitió pensar de forma distinta a la que se le suele inculcar a quien sigue la educación habitual. Su gran visión e intuición geométrica también contribuyeron a ello.
Después de estudiar en Lyon y permanecer un día en la École Normale de París, Mandelbrot comenzó sus estudios en la École Polytechnique en 1944 bajo la dirección de Paul Lévy, quien también ejerció gran influencia en él. Más adelante se doctoró en la Universidad de París y viajó a Estados Unidos, donde, entre otras cosas, fue el último estudiante de postdoctorado de John Von Neumann. Echando un ojo a los mentores de Mandelbrot podemos ver que la lista no tiene desperdicio, si uno era bueno el siguiente era mejor.
A lo largo de su vida fue profesor en la Universidad de Harvard y en la Universidad de Yale (donde terminó su carrera), entre otras instituciones. Pero posiblemente fue su trabajo en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson de Nueva York lo que más le ayudó en sus estudios, ya que allí le brindaron libertad total en sus investigaciones.
es el padre de la denominada Geometría Fractal, una nueva rama de la geometría que podemos decir que estudia los objetos tal como son. Mandelbrot pensó que las cosas en la realidad no son tan perfectas como las muestra la geometría euclídea: las esferas no son realmente esferas, las líneas no son perfectamente rectas, las superficies no son uniformes… Ello le llevó a estudiar estas imperfecciones, derivando estos estudios en la creación de esta nueva rama de la geometría.
Las primeras ideas sobre fractales de Mandelbrot fueron publicadas en la revista Science en 1967 a través de su artículo ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? En él da ciertas evidencias empíricas de que la longitud de una línea geográfica (como por ejemplo, la costa de Gran Bretaña) depende de la regla con la que la midamos. En líneas generales, la costa tendrá mayor longitud cuanto menor sea la unidad de medida utilizada, esto es, cuanto más cerca estemos mirando a la costa mayor longitud tendrá.
También habla de ciertas curvas autosemejantes, es decir, curvas que son semejantes a una parte de ellas mismas. Por ejemplo, las propias costas son un ejemplo de ello (no un ejemplo exacto, pero sí lo suficientemente aproximado como para comprender de qué estamos hablando), ya que la estructura quebradiza de las mismas hace que si vemos una porción de costa y después hacemos zoom en esa zona, lo que vemos en ese momento tiene una forma semejante a la primera porción que observamos.
Biografías de Gaston Julia
ResponderEliminarGaston Maurice Julia nació en Sidi Bel Abbès, una zona ubicada al norte del continente africano, más precisamente en Algeria, cuando esta se encontraba bajo dominio francés, un 3 de febrero del año 1893.
Julia era un excelente estudiante pero como le sucedió a muchos de sus contemporáneos la Primera Guerra Mundial los alejó de sus futuros prometedores y los colocó justo en el campo de batalla. Como consecuencia de su participación como soldados en esa difícil contienda bélica, Julia, perdería su nariz y a partir de entonces además de someterse a tantísimas operaciones tuvo que de por vida llevar una cubierta hecha de cuero en la nariz.
Cuando regresa de la guerra, Julia, retoma su pasión por las matemáticas y asimismo sus investigaciones. En tanto, a la edad de 25 años ya produce su primer gran descubrimiento, que le valdría el respeto de sus pares y que se publica en una revista especializada bajo el título de Memoria sobre la iteración de las funciones racionales. Inmediatamente después de este hallazgo, Julia, se convierte en una sensación dentro su campo y hasta se lo premia con el Gran Premio de la Academia de Ciencias francesa.
Sin embargo, ello no impidió que pronto también fuese olvidado junto a su notable aporte y pasen varias décadas hasta que alguien lo desempolvase y reivindicase.
Ese alguien fue su colega de origen polaco Benoît B. Mandelbrot, quien a partir del trabajo de Julia y de sus propios aportes le dio mayor entidad al estudio realizado en su momento por el francés y a partir de ese entonces sería popularizado como geometría fractal.
Julia fallece a la edad de 85 años en París, un 19 de marzo del año 1978.
Ecuación para el Conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot con su representación gráfica (Especificar el ejemplo).
ResponderEliminarEcuación para el Conjunto de Julia Está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
Conjuntos de Julia
ResponderEliminarEstos conjuntos son la fuente de algunos de los fractales más interesantes y conocidos de la actualidad. En el año 1918 fue cuando Gaston Julia, matemático francés, publicó su trabajos acerca de estos conjuntos que llevan su nombre. Además de él otros matemáticos como Pierre Fatuo impulsaron el avance de esta investigación.
Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal.
Conjunto de Mandelbrot.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
{z0zn+1==0 z2n+c(término inicial)(relación de inducción)
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot
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ResponderEliminar1. Biografías de Benoît Mandelbrot y Gaston Julia.
ResponderEliminarBenoît Mandelbrot (20 de noviembre de 1924, Varsovia, Polonia - 14 de octubre de 2010, 85 años Cambridge, EEUU) fue un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su popularidad al utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época - el ordenador - para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia, quien inventó las matemáticas de los fractales, y desarrollados luego por Mandelbrot.
Gaston Maurice Julia (3 de febrero de 1893, Sidi Bel Abes, Argelia - 19 de marzo de 1978, París, Francia) fue un matemático francés y precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.
2. Ecuación para el Conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot con su representación gráfica (Especificar el ejemplo).
Los Conjuntos de Julia son construidos a partir de los resultados de la iteración sucesiva sobre una familia de funciones complejas. Al ejecutar un proceso iterativo, sobre una función en particular del conjunto, se observan tres comportamientos como resultado: existe un conjunto de puntos que convergen hacia un punto en particular, también denominados puntos prisioneros, un conjunto de puntos que divergen y por tanto se llaman puntos de escape y un conjunto de puntos que define una clara frontera entre los dos grupos de puntos anteriores.
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1,… que sí es acotada, y por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Ing - M – 4S – 01- D
David Berroteran
CI.:26.470437
Yandry Martínez
CI.:25.217.721
1.Biografía de Benoît Mandelbrot
ResponderEliminarNació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010. Fue introducido al mundo de las
matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936, su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamard en este puesto, toma la responsabilidad de su educación. Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la École polytechnique, a temprana edad, en 1944, bajo la dirección de Paul Lévy, quien también le influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Después de diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research.
Nacimiento:20 de noviembre de 1924
Varsovia,Polonia.
Fallecimiento: 14 de octubre de 2010, 85 añosCambridge, Estados Unidos.
Nacionalidad: Polaca, francesa, estadounidense.
Campo: matemáticas y aerodinámica.
Instituciones: École Polytechnique,
Instituto de Tecnología de California,
Universidad de París.
*Biografía de Gaston Julia
Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la primera guerra mundial, donde perdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla y tuvo que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
Nacimiento: 3 de febrero de 1893
Sidi Bel Abbes, Argelia.
Fallecimiento:19 de marzo de 1978
París, Francia.
Nacionalidad: Francesa.
Ocupación: Matemático.
2. Ecuación del Conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot con su representación gráfica.
ResponderEliminarLos Conjuntos de Julia son construidos a partir de los resultados de la iteración sucesiva sobre una familia de funciones complejas. Al ejecutar un proceso iterativo, sobre una función en particular del conjunto, se observan tres comportamientos como resultado: existe un conjunto de puntos que convergen hacia un punto en particular, también denominados puntos prisioneros, un conjunto de puntos que divergen y por tanto se llaman puntos de escape y un conjunto de puntos que define una clara frontera entre los dos grupos de puntos anteriores.
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1,… que sí es acotada, y por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Benoît Mandelbrot
ResponderEliminarNació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936, su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamard en este puesto, toma la responsabilidad de su educación. Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la École polytechnique, a temprana edad, en 1944, bajo la dirección de Paul Lévy, quien también le influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Después de diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research.
Destaco al ser el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.
El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.
Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente
Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. La geometría fractal se distingue por una aproximación más abstracta a la dimensión de la que caracteriza a la geometría convencional.
El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza. Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.
El conjunto de Mandelbrot es un conjunto matemático de puntos en el plano complejo, cuyo borde forma un fractal. Este conjunto se define así, en el plano complejo:
A partir de c, se construye una sucesión por inducción:
su termino inicial es
Z(0)=0
a partir de la relación de inducción que seria
Z(n+1)=Z(n)^2+C
se determina si es perteneciente al conjunto de Mandelbrot es decir
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Gaston Julia
ResponderEliminarJulia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la primera guerra mundial, donde perdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla y tuvo que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
Nacimiento: 3 de febrero de 1893
Sidi Bel Abbes, Argelia. francia
Fallecimiento:19 de marzo de 1978
Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
El conjunto de Julia de una función holomorfa f, está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de f, tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota J(f).
En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor del matemático Pierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen un comportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una función holomorfa f, se denota F(f), y es el complemento de J(f).
Polinomios cuadráticos
Una familia muy notable de conjuntos de Julia se obtienen a partir de funciones cuadráticas simples: f_c(z) = z^2 + c\,, donde c\, es un número complejo. El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota Jc.
Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia de fc(z) = z^2 + c, es el siguiente:
Para todo complejo z, se construye por la siguiente sucesión:
Z(0)=0
Z(n+1)=Z(n)^2 +C esta se toma en cuenta para la determinación de Z. es decir, Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que z, pertenece al conjunto de Julia de parámetro c, denotado por Jc,; de lo contrario, z, queda excluido de éste.
Andrés Padrón- C.I:24.408.646
José Sanchez- C.I: 25.641.112
Benoît Mandelbrot Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010.Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann.En 1967 publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales.
ResponderEliminarFue profesor de economía en la Universidad Harvard, de ingeniería en la Yale, de fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y de matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo.
Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature, en el que explicaba sus investigaciones en este campo.
Gaston Maurice Julia (3 de febrero de 1893, Sidi Bel Abes, Argelia - 19 de marzo de 1978, París, Francia) fue un matemático francés.Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles) en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo de 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
Tomando un número complejo z = x + yi y otro complejo c = a + bi tal que c pertenece al conjunto de Mandelbrot C, la ecuación de Mandelbrot se define como:
z(n+1) = z(n)^2 + c
Los conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c:
Benoit B Mandelbrot.
ResponderEliminarMatemático, realiza estudios sobre geometría fractal. Mostró cómo los fractales pueden aparecer en muchos ámbitos diferentes, tanto en matemáticas como en otros aspectos de la naturaleza. Nació el 20 de noviembre de 1924, En 1944 comenzó sus estudios en la Escuela politécnica, al finalizar fue a los Estados Unidos donde estuvo en el Caltech (California Institute of Technology). Después de obtener un doctorado otorgado por la Universidad de París, estuvo en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
Benoît Mandelbrot recibió su diploma de la Escuela Politécnica de París en 1947, su Maestría de Ciencias en Aeronáutica del Instituto Tecnológico de California en 1948 y su Doctorado en Ciencias Matemáticas de la Universidad de París en 1952. De 1949 a 1957, trabajó en el Centro Nacional de Investigaciones Científicas (Francia), se desempeñó como profesor de matemáticasen Ginebra, Suiza, entre 1955 y 1957, y en la Escuela Politécnica de París en 1957-1958.
Poco después, se trasladó a los Estados Unidos, y se integró a International Business Machines (IBM) en 1958. Mientras trabajaba para IBM, se especializó en el estudio de procesos con propiedades estadísticas poco usuales y sus características geométricas, lo que luego culminó con sus contribuciones a la Geometría Fractal. Fue miembro de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias; la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos; la Academia Europea de Artes, Ciencias y Humanidades; la Academia IBM de Tecnología, y la Academia Noruega de Ciencias y Letras.
Contribuciones:
Fue el principal creador de la Geometría Fractal, al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.
En 1982 publicó su libro La geometría fractal de la Naturaleza, en el que explicaba sus investigaciones en este campo. El libro se convirtió en una de las obras más influyentes en su campo.
El profesor Mandelbrot se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza.
Mandelbrot sostuvo que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana , que han sido suavizados artificialmente.
Gaston Maurice Julia
ResponderEliminarEl matemático Gaston Maurice Julia nació el 3 de Febrero de 1893 en Sidi Bel Abbès, Algeria. Fallece el 19 de marzo de 1978 en París, Francia. Gaston Julia fue, exactamente, uno de los padres de la Teoría de Sistemas Dinámicos moderna, recordado por lo que hoy es llamado el Conjunto de Julia o el Set de Julia.
Cuando sólo tenía 25 años publicó su obra maestra de 199 páginas, titulada "Mémoire sur l'iteration des fonctions rationelles" que lo hace famoso en todo el ámbito matemático.
En la Primera Guerra Mundial, Julia toma parte, siendo seriamente dañado en un ataque en el frente Francés. Muchos otros resultaron heridos y muertos. Julia pierde su nariz, viéndose obligado a usar una capucha negra que le cubriría la cara por el resto de su vida. Durante muchas operaciones al rostro, el llevó a cabo sus estudios matemáticos en los diferentes hospitales en que le tocó estar.
Después se convirtió en un destacado profesor en el École Polytechnique de Paris, desarrollando al máximo sus teorias, pese a que muchas de ellas fueron despreciadas por algunos matemáticos considerados importantes en esos tiempos.
En 1918 Julia publicó un hermoso libro, "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles, Journal de Math. Pure et Appl. 8" (1918), concerniente a la iteración de una función racional f. Sus descubrimientos le valieron ganar el "Grand Prix de l'Académie des Sciences".
Se organizaron seminarios en Berlín, en 1925 para estudiar su trabajo, que ya había limpiado la imagen que dejó años atrás cuando practicamente se burlaron de él.
Desde su fama en 1920, su trabajo fue esencialmente olvidado, hasta que Benoit Mandelbrot lo hizo volver a resurgir en 1970 con sus experimentos computacionales. Un hombre que triunfó muy joven, y que tan rápido como su triunfo, fue trágicamente olvidado.
Conjuntos de Julia y Mandelbrot
ResponderEliminarLos conjuntos de Julia se definen a través de una función racional definida en el plano complejo Z. Tomada una función R(z[n+1]) = P(z[n]) / Q(z[n]), donde P(z[n]) y Q(z[n]) son polinomios definidos en Z y la n representa el valor de z en la n-ésima iteración, el conjunto de Julia asociado a R incluye a todos los puntos del plano complejo tales que al aplicarles un número n de veces la función R el resultado siempre se encuentra dentro de un determinado límite (es decir, el resultado no tiende a infinito, sino que está acotado por un cierto valor). Dentro de estos conjuntos se definen dos tipos: conjuntos conexos (conjuntos de Fatou) y conjuntos no conexos (conjuntos de Cantor).
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c.
Cuando el valor de c se hace muy pequeño (mucho menor que uno) el conjunto de Julia se hace no computable. Este es el caso del fractal de Mandelbrot.
Benoît Mandelbrot
ResponderEliminar(Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924—Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de 2010)1 fue un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su popularidad al utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época - el ordenador - para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia, quien inventó las matemáticas de los fractales, y desarrollados luego por Mandelbrot.
Nació el 20 de noviembre de 1924 en Varsovia, Polonia, dentro de una familia judía culta de origen lituano, murió en el 2010. Fue introducido al mundo de las matemáticas desde pequeño gracias a sus dos tíos. Cuando su familia emigra a Francia en 1936, su tío Szolem Mandelbrot, profesor de matemáticas en el Collège de France y sucesor de Hadamard en este puesto, toma la responsabilidad de su educación. Después de realizar sus estudios en la Universidad de Lyon ingresó a la École polytechnique, a temprana edad, en 1944, bajo la dirección de Paul Lévy, quien también le influyó fuertemente. Se doctoró en matemáticas por la Universidad de París en el año 1952. Posteriormente se fue al MIT y luego al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde fue el último estudiante de postdoctorado a cargo de John von Neumann. Después de diversas estancias en Ginebra y París acabó trabajando en IBM Research.
En 1967 publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales.
Fue profesor de economía en la Universidad Harvard, de ingeniería en la Yale, de fisiología en el Colegio Albert Einstein de Medicina, y de matemáticas en París y Ginebra. Desde 1958 trabajó en IBM en el Centro de Investigaciones Thomas B. Watson en Nueva York.
Gaston Julia
ResponderEliminarJulia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles) en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo de 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.
Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la primera guerra mundial, donde perdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla y tuvo que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
1.Benoît Mandelbrot:(Biografía)
ResponderEliminar(Varsovia, Polonia, 20 de noviembre de 1924—Cambridge, Estados Unidos, 14 de octubre de 2010)1 fue un matemático polaco nacionalizado francés y estadounidense conocido por sus trabajos sobre los fractales. Es considerado el principal responsable del auge de este campo de las matemáticas desde el inicio de los años setenta, así como de su popularidad al utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época - el ordenador - para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia. Gaston Julia descubrió estos últimos y desarrolló las matemáticas de los fractales, que luego desarrolló Mandelbrot.
Gaston Julia:(Biografía)
Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
2.Conjunto de Mandelbrot:El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010), que investigó sobre él en los años setenta.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión: Z 0=0 (termino inicial), Z n + 1= Z2n+c (relacion de induccion) Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = –1 obtenemos la sucesión 0, –1, 0, –1,… que sí es acotada, y por tanto, –1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot.
Conjunto de Julia:Los conjuntos de Julia, así llamados por el matemático Gaston Julia, son una familia de conjuntos fractales que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función holomorfa.
El conjunto de Julia de una función holomorfa f, está constituido por aquellos puntos que bajo la iteración de f, tienen un comportamiento 'caótico'. El conjunto se denota J(f).
En el otro extremo se encuentra el conjunto de Fatou (en honor del matemático Pierre Fatou), que consiste de los puntos que tienen un comportamiento 'estable' al ser iterados. El conjunto de Fatou de una función holomorfa f, se denota F(f) y es el complemento de J(f).
Angel Viera CI: 25.736.175 IVs. Ingeniería Mecánica.
1.Benoît Mandelbrot:(Varsovia, 1924) Matemático francés de origen polaco. Nieto del eminente matemático Szolem Mandelbrot, su familia emigró a Francia en 1936. Su tío se encargó personalmente de su educación y lo orientó hacia los trabajos de G. Julia sobre las iteraciones sobre el plano complejo. Tras familiarizarse con otras disciplinas científicas, como la física o la biología, Mandelbrot desarrolló la teoría de las fractales, formas geométricas complejas caracterizadas por la autosemejanza y capaces de describir aquellos fenómenos espaciales no uniformes para los que las formas geométricas euclídeas habituales resultan insuficientes. El ulterior desarrollo de la geometría fractal ha generado resultados susceptibles de encontrar aplicación en campos tan diversos como los de la mecánica estadística o la infografía.
ResponderEliminarGaston Julia:Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema y en explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso por ser de longitud infinita, entre otras propiedades.
Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo Informe sobre la iteración de las funciones racionales (Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles) en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Este artículo de 199 páginas le permitió ser galardonado por la Academia de las Ciencias Francesa.
Sin embargo, en su vida no tuvo mucha fama. En efecto, murió antes de que se volvieran muy populares los fractales, a inicios de los años ochenta. Este interés tardío, que sigue vivo hoy, fue debido al segundo padre de éstos, el matemático polaco Benoit Mandelbrot, quien tuvo una ventaja enorme sobre Gaston Maurice Julia: pudo aprovechar la invención del ordenador. Todas las propiedades de los fractales que estableció Julia a fuerza de cálculos y deducciones, con papel y lápiz, las podían observar en su pantalla Mandelbrot y los millones de propietarios de ordenadores personales con modo gráfico. A finales de los ochenta, los artistas se interesaron en el conjunto de Mandelbrot y, en menor medida, en los conjuntos de Julia, que están intrínsecamente relacionados.
Tampoco tuvo mucha suerte Gaston Julia en su vida privada, pues tuvo que interrumpir sus prometedores estudios a los 20 años a causa de la primera guerra mundial, donde perdió su nariz. Numerosas operaciones de cirugía no pudieron recomponerla y tuvo que llevar una pequeña máscara el resto de su vida.
2.Ecuación para el Conjunto de Julia y el conjunto de Mandelbrot con su representación gráfica (Especificar el ejemplo).
ResponderEliminarLos Conjuntos de Julia son construidos a partir de los resultados de la iteración sucesiva sobre una familia de funciones complejas. Al ejecutar un proceso iterativo, sobre una función en particular del conjunto, se observan tres comportamientos como resultado: existe un conjunto de puntos que convergen hacia un punto en particular, también denominados puntos prisioneros, un conjunto de puntos que divergen y por tanto se llaman puntos de escape y un conjunto de puntos que define una clara frontera entre los dos grupos de puntos anteriores.
Un ejemplo de conjuntos de Julia son los formados por la familia cuadrática, que está definida por la siguiente ecuación de recurrencia:
z(n+1) = z(n)^2 + c
donde z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no generan un fractal.
Conjunto de Mandelbrot.
El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado. Se conoce así en honor al matemático Benoît Mandelbrot, que investigó sobre él en la década de los setenta del siglo XX.
Este conjunto se define así, en el plano complejo:
Sea c un número complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesión por recursión:
{z0zn+1==0 z2n+c(término inicial)(relación de inducción)
Si esta sucesión queda acotada, entonces se dice que c pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido del mismo.
Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesión 0, 1, 2, 5, 26… que diverge. Como no está acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot.
En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesión 0, -1, 0, -1,… que sí es acotada, y por tanto, -1 sí pertenece al conjunto de Mandelbrot
David Villamizar 27.086.783
Josue Pradilla 24.284.811