El primero en usar los números complejos fue el
matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en
la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número
complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo
trabajo fue de importancia básica en álgebra,
teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para
el uso general y sistemático de los números complejos.
Investigar:
1.Biografías de Girolamo Cardano y Carl Friedrich
Gauss.
2. Relación de Caspar Wessel (1745-1818) con los
números complejos.
Cardano, para pagar sus gastos se dedicó al juego (especialmente dados y ajedrez). Los conocimientos que tenía de matemáticas le daban ventaja sobre sus oponentes. Fue un adicto al juego durante toda su vida.
ResponderEliminarCatedrático de Medicina en su ciudad natal en 1543 y en Bolonia en 1562. Sus trabajos en astrología incluyeron un horóscopo de Cristo. En el año 1570 fue detenido por la Inquisición acusado de herejía, aunque pronto se retractó y recibió una pensión del papa Pío V.
Autor de más de 200 tratados, los más famosos fueron su Ars Magna, (1545) con las primeras soluciones publicadas de ecuaciones de tercer y cuarto grado y el Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad. Cardano llamaba a los números negativos "falsos", pero en su "Ars Magna" los estudió exhaustivamente.
Unas semanas antes de su muerte ocurrida en Roma el 21 de septiembre de 1501, finalizó su autobiografía De propria vita.
No aceptaba de buen talante el reconocimiento de sus propios errores. En cierta ocasión trazó su propio horóscopo pronosticando su muerte antes de cumplir los 75 años. Faltándole poco para llegar a esa edad, y viendo que su salud no se resentía lo más mínimo, tomó la decisión de privarse de alimentos y bebidas, consiguiendo así acertar el pronóstico de su muerte por el pequeño margen de sólo cuatro días.
Son las raíces indicadas pares de cantidades negativas
ResponderEliminarCantidades reales son todas las cantidades racionales o irracionales que no son imaginarias esa es su relacion entre estos dos matematicos
GIROLAMO CARDANO.
ResponderEliminarCardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria Cardano Cardano comenzó como asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera. Aunque su padre quería que estudiara derecho, Cardano ingresé a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra. Cardano se graduó de médico en 1525.
Malgastó lo que recibió de su padre y se dedicó al juego para mejorar sus finanzas (dados, cartas, ajedrez), del cual hizo un medio de vida Una vez acabados sus estudios intentó ejercer medicina en su Milán natal, pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el colegio de médicos. En 1539, Cardano publicó sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, además de Matemática. En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Su Ars Magna tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. En esta obra, además se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x, es raíz del polinomio.
Era el mejor libro de Álgebra escrito hasta la fecha. Todavía utilizaba la Geometría para demostraciones algebraicas y todavía rehuía la utilización de números negativos. Sin embargo, el Ars Magna presenta una explicación completa de la ecuación cúbica, incluyendo el tratamiento de números imaginarios. También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovechó su experiencia como jugador y una autobiografía extremadamente franca, De propria vita, que adquirió cierta fama.
CARL FRIEDRICH GAUSS.
ResponderEliminarJohann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania, sus estudios e investigaciones pueden localizarse tanto en matemáticas como en física y astronomía. Posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor.
Podemos decir que Gauss fue un niño prodigio en lo que se refiere a las
matemáticas en general y al cálculo en particular. A los 3 años de edad corrigió a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que tenía a su cargo.
Su primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás.
Gauss estaba tan orgulloso de la demostración de este resultado que decidió estudiar Matemáticas por él.
Estando todavía en la universidad Gauss realizó otros importantes descubrimientos, entre los que destacan los siguientes:
Inventó la aritmética modular (II), hecho que sirvió para unificar la teoría de números.
Demostró la ley de reciprocidad cuadrática, enunciada pero no demostrada completamente por Legendre unos años antes.
Demostró que todo número número entero positivo puede expresarse como suma de como mucho tres números triangulares.
En 1801 Gauss publico en su obra Disquisitiones Arithmeticae. En ella, a partir de la aritmética modular (congruencias), reunió una gran cantidad de resultados relacionados con teoría de números (la ley de reciprocidad cuadrática entre ellos).
Esta publicación contribuyó de manera fundamental a la sistematización de dicha rama de las matemáticas.
Después de esto Gauss añadió la astronomía a su radio de acción. Este mismo año 1801 el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi observó lo que pensó que era un planeta, pero le perdió la pista demasiado pronto. Gauss predijo que no era un planeta, sino un asteroide, utilizando elipses en vez de circunferencias para modelizar las órbitas y creando el método de mínimos cuadrados para minimizar los errores de medida cometidos. A finales de 1801 los astrónomos encontraron el asteroide Ceres exactamente donde Gauss predijo que estaría.
Algunos otros descubrimientos y resultados que han terminado llevando el nombre de Gauss son los siguientes:
El teorema de Gauss-Bonnet
El método de Gauss para triangular una matriz (y el método de eliminación de Gauss-Jordan).
El método de Gauss-Seidel (método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales).
El teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss (y por teorema de Ostrogradsky-Gauss).
CASPAR WESSEL Y LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
ResponderEliminarEl matemático noruego - danés Caspar Wessel es autor de " Ensayo sobre la dirección analítica de la dirección", primer texto sobre la representación geométrica de los números complejos, aparecido en 1799 en las memorias de la Academia Real de Dinamarca, y desconocido para el mundo hasta su traducción en 1897.
Caspar se relaciono con los números complejos representando puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto podía representarse mediante a+bε, siendo su multiplicación:
(a+bε)(c+dε)= (ac−bd)+ (ad+bc) ε.
“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y +ε otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para +ε es 90º, y para −ε es −90º o 270º.
Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:(+1)(+1)=+1;(+1)(−1)=−1; (−1)(−1)=+1; (+1)(+ε)=+ε;(+1)(−ε)= −ε;(−1)(−ε)=+ε; (+ε)(+ε)=−1; (+ε)(−ε)=+1; (−ǫ)(−ǫ)=−1. De este resultado se observa que ε es igual al √ (-1), y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”
Carl Gauss - Carl Friedrich Gauss
ResponderEliminar(1777/04/30 - 1855/02/23)
Matemático alemán
Nació el 30 de abril de 1777 en Braunschweig.
Hijo de un albañil, antes de cumplir los tres años de edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticosmentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de cumplir los siete años y cuando tenía diez, su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Reveló que encontró la solución usando el álgebra.
Cuando tenía doce años, criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaba las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, entendía la convergencia y probó el binomio deNewton. Su genio y precocidad llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria.
Cursó estudios en lenguas antiguas, aunque a los 17 años se interesa definitivamente por las matemáticas. Intentó encontrar la solución del problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. Probó que era imposible y continuó aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados.
Probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. Estudió en la Universidad de Gotinga de 1795 a 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. El teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra.
Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es un clásico en el campo de las matemáticas. Desarrolló el teorema de los números primos. En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de Gauss.
Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, investigó sobre el magnetismo y la electricidad; una unidad de inducción magnéticarecibe su nombre. También investigó los sistemas de lentes y se interesó por la astronomía.
El asteroide Ceres había sido descubierto en 1801 y Gauss calculó su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También ideó un nuevo sistema para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En el año 1807 Carl Gauss fue profesor de matemáticas y dirigió el observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su fallecimiento.
Darwin Viloria
ResponderEliminarLens Lesmo
Gennesis Sanchez
Gerolamo Cardano
(1501/09/24 - 1576/09/21)
Médico, matemático y astrólogo italiano
Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía (Italia). Hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado de Milán, y profesor de Geometría en la Universidad de Pavia.
Cardano, para pagar sus gastos se dedicó al juego (especialmente dados y ajedrez). Los conocimientos que tenía de matemáticas le daban ventaja sobre sus oponentes. Fue un adicto al juego durante toda su vida.
Catedrático de Medicina en su ciudad natal en 1543 y en Bolonia en 1562. Sus trabajos en astrología incluyeron un horóscopo de Cristo. En el año 1570 fue detenido por la Inquisición acusado de herejía, aunque pronto se retractó y recibió una pensión del papa Pío V.
Autor de más de 200 tratados, los más famosos fueron su Ars Magna, (1545) con las primeras soluciones publicadas de ecuaciones de tercer y cuarto grado y el Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad. Cardano llamaba a los números negativos "falsos", pero en su "Ars Magna" los estudió exhaustivamente.
Unas semanas antes de su muerte ocurrida en Roma el 21 de septiembre de 1501, finalizó su autobiografía De propria vita.
No aceptaba de buen talante el reconocimiento de sus propios errores. En cierta ocasión trazó su propio horóscopo pronosticando su muerte antes de cumplir los 75 años. Faltándole poco para llegar a esa edad, y viendo que su salud no se resentía lo más mínimo, tomó la decisión de privarse de alimentos y bebidas, consiguiendo así acertar el pronóstico de su muerte por el pequeño margen de sólo cuatro días.
Relación de Caspar Wessel (1745-1818) con los números complejos
ResponderEliminarEl matemático noruego - danés Caspar Wessel es autor de " Ensayo sobre la dirección analítica de la dirección", primer texto sobre la representación geométrica de los números complejos, aparecido en 1799 en las memorias de la Academia Real de Dinamarca, y desconocido para el mundo hasta su traducción en 1897
Wessel había trabajado durante años en cartografía: triangulando la posición de su tierra natal, Dinamarca, determinando estudios trigonométricos de ducados... Este trabajo le hizo adentrarse en el álgebra, la trigonometría y la geometría, percatándose de una interpretación que hasta esos días nadie había observado. Lo plasmó en el único artículo matemático que publicó: Essai sur la représentation analytique de la direction. En él escribe:
“El presente artículo trata la cuestión de cómo podemos representar una dirección de forma analítica; esto es, cómo expresaremos rectas (segmentos rectos) de tal manera que en una ecuación que arroje como resultado una recta desconocida y otras conocidas, la longitud y la dirección de la recta desconocida puedan ser expresadas.”
En su representación expresa:
“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y +ε otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para +ε es 90º, y para −ε es −90º o 270º. Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:(+1)(+1)=+1;(+1)(−1)=−1; (−1)(−1)=+1; (+1)(+ε)=+ε;(+1)(−ε)= −ε;(−1)(−ε)=+ε; (+ε)(+ε)=−1; (+ε)(−ε)=+1; (−ǫ)(−ǫ)=−1. De este resultado se observa que ε es igual al √(-1), y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”
Wessel acababa de representar los número complejos como puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto podía representarse mediante a+bε, siendo su multiplicación (a+bε)(c+dε)=(ac−bd)+(ad+bc)ε.
1.Biografías de Girolamo Cardano y Carl Friedrich Gauss.
ResponderEliminarBiografías de Girolamo Cardano
Cardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Su padre era abogado en Milán, pero su experiencia en Matemática hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de Geometría. Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia. Con más de cincuenta años, conoció a Chiara Micheria, una viuda treintañera, que luchaba por criar 3 hijos. Chaira quedó embarazada de Fazio, con quien se casó años después.
Cardano comenzó como asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Pero él aspiraba a más y empezó a pensar en hacer una carrera. Aunque su padre quería que estudiara derecho, Cardano ingresé a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra. Cardano se graduó de médico en 1525.
Malgastó lo que recibió de su padre y se dedicó al juego para mejorar sus finanzas (dados, cartas, ajedrez), del cual hizo un medio de vida ya que habitualmente era más lo que ganaba que lo que perdía. En este ambiente estuvo rodeado de gen¬te de dudosa reputación. El juego se convirtió en una adicción que te duró muchos años y te hizo perder mucho tiempo valioso, dinero y reputación.
Una vez acabados sus estudios intentó ejercer medicina en su Milán natal, pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el colegio de médicos. Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvió al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empeñar las joyas de su esposa Lucía, con quien se había casado en 1531.
En 1539 publicó su primera obra en dicha materia, laPráctica de matemáticas y mediciones individuales, en la que recogió el contenido de sus clases. Ese mismo año fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con una sólida fama como médico (a él se debe la primera descripción clínica de la fiebre tifoidea), se trasladó de nuevo a Pavía.
Dos años después publicó su obra científica más importante, el Ars magna, donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado por el también matemático Niccolò Tartaglia, quien se lo había revelado con la condición de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al descubrir otra fuente en la que se contenía dicha regla, se creyó liberado de su promesa.
Otras obras suyas de importancia fueron el Libro sobre juegos y azar, en el cual ofreció la primera aproximación sistemática a la teoría de la probabilidad y enunció la ley de los grandes números, resultados todos ellos que no serían abordados de nuevo (por Blaise Pascal y Pierre de Fermat) hasta un siglo más tarde. Publicó asimismo títulos de contenido filosófico, como La sutileza de las cosas, que fueron muy leídos en su tiempo.
Los últimos años de su vida estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecución en el año 1560 de uno de sus hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso por herejía por el que llegó a ser encarcelado (1570). Absuelto un año después, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se trasladó a Roma ciudad en la que redactó su autobiografía Mi propia vida, que concluyó poco antes de su muerte.
ResponderEliminarCarl Friedrich Gauss
Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.
2. Relación de Caspar Wessel (1745-1818) con los números complejos.
ResponderEliminarEn mayo de 1782 Wessel fue liberado de su trabajo con la Real Academia Danesa para que pudiera realizar un estudio trigonométrico del ducado de Oldenburg. Wessel trabajó en el estudio de Oldenburg hasta el verano de 1785, cuando regresó a su trabajo con la Real Academia Danesa. Él fue desarrollando métodos matemáticos cada vez más sofisticados, los cuales explicó plenamente en un informe que escribió en 1787. Este informe ya contenía la brillante aportación matemática de Wessel, es decir, la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1796, Wessel había terminado la triangulación de Dinamarca y utilizó los datos obtenidos para elaborar el primer mapa exacto del país. En el mismo año escribió su primer y único documento matemático en el cual expresaba la interpretación geométrica de los números complejos y lo presentó en una reunión de la Real Academia Danesa el 10 de marzo de 1797. Este documento no fue publicado hasta 1799.
Girolamo Cardano
ResponderEliminarNacimiento: 24 de septiembre de 1501jul.
Pavía
Fallecimiento: 21 de septiembre de 15/76jul. Roma
Nacionalidad: Italiana
Estudio: Universidad de Pavía
Ocupación: Filósofo, matemático, astrónomo y medico
Nacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en las cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews). No obstante los obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión.En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y a haber escrito el horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
Carl Friedrich Gauss
ResponderEliminarNacimiento: 30 de abril 1777
Brunswick, Bandera de Sacro Imperio Romano Germánico Sacro Imperio Romano Germánico,
(Bandera de Alemania Alemania)
Fallecimiento: 23 de febrero 1855 (77 años)
Gotinga, Reino de Hanóver
Residencia: Reino de Hanóver
Campo: Matemático y físico
Instituciones: Universidad de Gotinga
Alma máter: Universidad de Helmstedt
Supervisor doctoral Johann Friedrich Pfaff
Estudiantes destacados: Friedrich Bessel
Christoph Gudermann
Christian Ludwig Gerling
J. W. Richard Dedekind
Johann Encke
Johann Listing
Bernhard Riemann
Conocido por: Teoría de números
Magnetismo
Cónyuge: Johanna Osthoff
Mina Waldeck
Fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato, Gauss murió en Gotinga el 23 de febrero de 1855.
CASPAR WESSEL Y SU TEORÍA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
ResponderEliminarEl matemático noruego - danés Caspar Wessel es autor de " Ensayo sobre la dirección analítica de la dirección", primer texto sobre la representación geométrica de los números complejos, aparecido en 1799 en las memorias de la Academia Real de Dinamarca, y desconocido para el mundo hasta su traducción en 1897.
Caspar se relaciono con los números complejos representando puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto podía representarse mediante a+bε, siendo su multiplicación:
(a+bε)(c+dε)= (ac−bd)+ (ad+bc) ε.
“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y +ε otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para +ε es 90º, y para −ε es −90º o 270º.
Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:(+1)(+1)=+1;(+1)(−1)=−1; (−1)(−1)=+1; (+1)(+ε)=+ε;(+1)(−ε)= −ε;(−1)(−ε)=+ε; (+ε)(+ε)=−1; (+ε)(−ε)=+1; (−ǫ)(−ǫ)=−1. De este resultado se observa que ε es igual al √ (-1), y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”
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ResponderEliminar1. Biografías de Girolamo Cardano y Carl Friedrich Gauss.
ResponderEliminarGirolamo Cardano. Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, Italia, hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria..En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió medicina en papua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Sacco (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en las cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St Andrews). No obstante, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión. Fue el primero en describir la fiebre tifoidea.
Trabajo realizados.Es más conocido por sus trabajos de álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética “Practica arithmetica et mensurandi singulares”. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro Ars magna datado en 1545.
Murió en Roma Italia el 21 de septiembre de 1576
Johann Karl Friedrich Gauss(Brunswick, 30 de abril de 1777 – Gotinga, 23 de febrero de 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
2. Relación de Caspar Wessel (1745-1818) con los números complejos.
Caspar Wessel fue un matemático noruego-danés nacido el 8 de junio de 1745 en Vestby (cerca de Dröbak), Noruega. Jonas Wessel, su padre, y su abuelo fueron ministros en la iglesia. Su madre, Marie Helene tuvo catorce hijos, de los cuales Caspar fue el sexto.
Caspar fue a la escuela de la catedral de Christiania (ahora Oslo) junto con dos de sus hermanos mayores, Johan Herman Wessel y Ole Christopher Wessel. Entró en 1761 a la universidad de Copenhague en Dinamarca, ya que en ese tiempo no había universidades en Noruega, y estudio derecho.
En 1762 su hermano, Ole Christopher Wessel, fue requerido como inspector de un proyecto de la Real Academia Danesa de Ciencias y Letras (Kongelige Danske Videnskabernes Selskab) para triangular la posición de Dinamarca. En 1764 Caspar entró al proyecto como asistente de su hermano.
Caspar se relaciono con los números complejos representando puntos en el plano, indicando que cualquier segmento recto podía representarse mediante a+bε, siendo su multiplicación:
(a+bε)(c+dε)= (ac−bd)+ (ad+bc) ε.
“Sea +1 la unidad rectilínea positiva y +ε otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección de +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para −1 es 180º, para +ε es 90º, y para −ε es −90º o 270º.
Por la regla que establece que el ángulo de la dirección del producto es igual a la suma de los ángulos de los factores, tenemos:(+1)(+1)=+1;(+1)(−1)=−1; (−1)(−1)=+1; (+1)(+ε)=+ε;(+1)(−ε)= −ε;(−1)(−ε)=+ε; (+ε)(+ε)=−1; (+ε)(−ε)=+1; (−ǫ)(−ǫ)=−1. De este resultado se observa que ε es igual al √ (-1), y que la divergencia del producto se determina de tal forma que ninguna de las reglas operativas comunes son contravenidas.”
David Berroteran
CI.:26.470.437
ING-M-4S-D-01
Biografía de Gerolamo Cardano.
ResponderEliminar(24 sept. 1501 - 21 sept. 1576) fue un célebre matemático italiano del Renacimiento, médico, astrólogo, jugador de juegos de azar y filósofo. Nació en Pavía (Italia). En 1520, entró en la Universidad de Pavia y estudió medicina en Padua,desarrolló una considerable reputación como médico en Sacco (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados. fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión. Fue el primero en describir la fiebre tifoidea.
Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro Ars magna datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x3 + ax = b (en notación moderna).
Su libro sobre juegos azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.
Hizo contribuciones a la hidrodinámica y mantuvo que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes. introdujo la reja de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las naves llamado gimbal.
Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marco.
El gran teorema: La resolución de la ecuación cúbica.
Teorema: Regla para resolver x3 + mx = n: Elevar al cubo el coeficiente de x dividido por 3; añadir a esta cantidad el cuadrado de la constante de la ecuación dividida por dos; y extraer la raíz cuadrada de esta suma. Duplicar (repetir) esta operación, y a una de las dos añadir la mitad del número que se ha elevado al cuadrado y a la otra restarle la mitad de la misma cantidad... Luego, sustrayendo la raíz cúbica del primero de la raíz cúbica del segundo, el resto será el valor de x.
Demostración: Cardano imaginó un gran cubo, con lado AC, de longitud t. El lado AC se divide en B en el segmento BC de longitud u y en el segmento AB de longitud t-u. Aquí t y u son variables auxiliares cuyos valores debemos hallar. Cardano procedió a trocear en 6 piezas el gran cubo, cuyos volúmenes por separado procedemos a determinar:
Un cubo pequeño en la esquina de la parte frontal, de volumen u3.
Un cubo mayor en la esquina superior de la parte de atrás, de volumen (t − u)3.
Dos trozos en la parte superior derecha, uno enfrente de la cara a lo largo de AB y otro a la derecha a lo largo de DE, cada uno con un volumen tu(t − u).
Un bloque alto en la esquina superior frontal, por encima del cubo pequeño, con volumen u2(t − u).
Un bloque aplanado en la esquina inferior de la parte de atrás, debajo del cubo mayor, de volumen u(t − u)2.
El volumen del cubo grande, t3, es igual a la suma de estos seis cubos en los que se puede descomponer. Esto es, t3 = u3 + (t − u)3 + 2tu(t − u) + u2(t − u) + u(t − u)2.
Reordenando algunos de los términos, obtenemos: (t − u)3 + (t − u)[2tu + u2 + u(t − u)] = t3 − u3, y sacando (t-u) factor común del segundo término del primer miembro: (t − u)3 + (t − u)[2tu + u2 + u(t − u)] = t3 − u3 que se convierte en: (t − u)3 + 3tu(t − u) = t3 − u3..
Hemos llegado a una ecuación que recuerda la ecuación cúbica original de la forma x3 + mx = n. Esto es, si hacemos t-u=x, se convierte en: x3 + 3tux = t3 − u3, lo que inmediatamente sugiere que sustituyamos 3tu = m, y t3 − u3 = n. Si podemos determinar las cantidades t y u en términos de m y n de la ecuación cúbica orginal, entonces x = t − u nos dará la solución buscada.
LUIS VILLAMIZAR.
CI:25674843
ING.MECANICA.
Karl Friedrich Gauss.
ResponderEliminar(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán.Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas,El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.
Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.
Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.
Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratado Investigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas.
Relación de Caspar Wessel con los números complejos.
ResponderEliminarCaspar Wessel fue un matematico-danes nacido el 8 de Junio de 1745 en Vestby (cerca de Drökab), Noruega.
Jonas Wessel, su padre, y su abuelo fueron ministros en la iglesia. Su madre, Marie Helene tuvo catorce hijos, de los cuales Caspar fue el sexto.
Caspar fue a la escuela de la catedral de Christiania (ahora Oslo) junto con dos de sus hermanos mayores, Johan Herman Wessel y Ole Christopher Wessel. Entró en 1761 a la universidad de Copenhague en Dinamarca, ya que en ese tiempo no había universidades en Noruega, y estudio derecho.
En 1762 su hermano, Ole Christopher Wessel, fue requerido como inspector de un proyecto de la Real Academia Danesa de ciencias y letras. Kongelige Danske Videnskabernes Selskab) para triangular la posición de Dinamarca. En 1764 Caspar entró al proyecto como asistente de su hermano.
Contribuciones.
En mayo de 1782 Wessel fue liberado de su trabajo con la Real Academia Danesa para que pudiera realizar un estudio trigonométrico del ducado de Oldenburg. Wessel trabajó en el estudio de Oldenburg hasta el verano de 1785, cuando regresó a su trabajo con la Real Academia Danesa. Él fue desarrollando métodos matemáticos cada vez más sofisticados, los cuales explicó plenamente en un informe que escribió en 1787. Este informe ya contenía la brillante aportación matemática de Wessel, es decir, la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1796, Wessel había terminado la triangulación de Dinamarca y utilizó los datos obtenidos para elaborar el primer mapa exacto del país. En el mismo año escribió su primer y único documento matemático en el cual expresaba la interpretación geométrica de los números complejos y lo presentó en una reunión de la Real Academia Danesa el 10 de marzo de 1797. Este documento no fue publicado hasta 1799.
Wessel renunció a su trabajo con la Real Academia Danesa en 1805 cuando tenía 60 años. Recibió una medalla de plata de la Real Academia Danesa por sus trabajos y mapas. En 1815 fue nombrado caballero de la orden de Dannebrog.
Muere el 25 de marzo de 1818 en Copenhague, Dinamarca.
LUIS VILLAMIZAR.
CI:25674843.
ING.MECÁNICA.
Serie de Fourier
ResponderEliminarLas primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.
Aplicaciones
• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
• Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
• Reforzamiento de señales.
• Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
• La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
Espacios de Hilbert
ResponderEliminarLa solución general a una ecuación diferencial lineal está dada por la combinación lineal de todas las soluciones particulares a dicha ecuación diferencial. Esto significa que si tomamos todas y cada una de las soluciones particulares al problema de una partícula encerrada en una caja unidimensional y las sumamos representando dicha suma como Ψ(x):
entonces Ψ(x) será la solución general a la ecuación de Schrödinger para el caso de una partícula encerrada en una caja unidimensional. Podemos representar la anterior suma infinita de una manera un poco más compacta usando el símbolo de la sumatoria:
Siendo todas las funciones senoidales de cada uno de los términos de esta serie infinita ortogonales en el sentido de que el producto interno de cualquier par de ellas será igual a cero, esto se parece mucho a una serie de Fourier. Sin embargo, no lo es, ya que las amplitudes de todos los términos son iguales, y si fuéramos sumando en una gráfica cada uno de los términos de la serie no tardaríamos en obtener amplitudes aproximándose a valores infinitamente grandes. No hay convergencia alguna dentro de intervalo alguno de la serie. Sin embargo, esto no representa ningún problema desde el punto de vista de la interpretación física, porque aunque en principio todos los términos conviven juntos de alguna manera, al llevarse a cabo el acto de medición la función de onda Ψ(x) se colapsará aleatoriamente hacia uno y solo uno de los términos de la serie. En realidad, en la suma de términos que representa la solución general a la ecuación de Schrödinger, el símbolo “+” debe tomarse más como un “separador” de los términos de la sumatoria que una adición real a ser llevada a cabo. Hay otra forma más apropiada en la cual podemos agrupar las soluciones particulares a la ecuación de Schrödinger manteniéndolas separadas pero incluyéndolas a todas:
El espacio de Hilbert es un espacio vectorial infinitamente grande. En su momento, esto fue una idea revolucionaria, en virtud de que todos los espacios vectoriales, inclusive los espacios matemáticos abstractos, eran finitos. Pero afortunadamente en su trabajo sobre ecuaciones integrales llevado a cabo en 1912 David Hilbert tuvo la visión suficiente para captar la necesidad de tener que postular un espacio vectorial infinitamente grande para poder proyectar todo el aparato matemático de la Mecánica Cuántica sobre una base rigurosamente formal. Y quince años después correspondió a otro matemático igualmente brillante, el matemático húngaro John von Neumann, el darle en 1927 una definición axiomática al espacio vectorial de Hilbert en su ya famosa obra Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Pero Hilbert no solo propuso un espacio vectorial infinitamente grande. Propuso también que los componentes de los “vectores” pudiesen ser números imaginarios o números complejos sin estar limitados a ser números reales, redefiniendo a la vez el concepto del producto interno de dos vectores para que dicho producto pudiese seguir siendo un número real con significado físico.
Girolamo Cardano
ResponderEliminar( Pavía, actual Italia, 1501 - Roma, 1576) Matemático italiano. Se graduó en la de Pavía y se doctoró en medicina (1526) en la de Padua. En 1536 se trasladó a Milán, donde empezó a ejercer como profesor de matemáticas.
Gerolamo Cardano
En 1539 publicó su primera obra en dicha materia, la Práctica de matemáticas y mediciones individuales, en la que recogió el contenido de sus clases. Ese mismo año fue admitido en la facultad de medicina, de la que al poco fue nombrado rector. En 1543, ya con una sólida fama como médico (a él se debe la primera descripción clínica de la fiebre tifoidea), se trasladó de nuevo a Pavía.
Dos años después publicó su obra científica más importante, el Ars magna, donde se recoge un exhaustivo estudio de las ecuaciones de tercer grado o cúbicas, y en la que se ofrece la regla para la resolución de las mismas que lleva su nombre. Por la publicación de dicho resultado fue duramente criticado por el también matemático Niccolò Tartaglia, quien se lo había revelado con la condición de que lo mantuviera en secreto y no lo divulgara, si bien Cardano, al descubrir otra fuente en la que se contenía dicha regla, se creyó liberado de su promesa.
Otras obras suyas de importancia fueron el Libro sobre juegos y azar, en el cual ofreció la primera aproximación sistemática a la teoría de la probabilidad y enunció la ley de los grandes números, resultados todos ellos que no serían abordados de nuevo (por Blaise Pascal y Pierre de Fermat) hasta un siglo más tarde. Publicó asimismo títulos de contenido filosófico, como La sutileza de las cosas, que fueron muy leídos en su tiempo.
Los últimos años de su vida estuvieron plagados de desgracias, desde la ejecución en el año 1560 de uno de sus hijos, acusado de asesinato, hasta un proceso por herejía por el que llegó a ser encarcelado (1570). Absuelto un año después, pero privado del derecho de publicar obra alguna, se trasladó a Roma ciudad en la que redactó su autobiografía Mi propia vida, que concluyó poco antes de su muerte.
Karl friedrich gauss
ResponderEliminar(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.
Karl Friedrich Gauss
El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.
En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.
Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.
En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida.
Johann Carl Friedrich Gauss (biografia)
ResponderEliminar(Brunswick, 30 de abril de 1777-Gotinga, 23 de febrero de 1855) fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de los matemáticos» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.
Gauss pronto fue reconocido como un niño prodigio, pese a provenir de una familia campesina de padres analfabetos; de él existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad. Hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente en el bachillerato y completó su magnum opus, Disquisitiones arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque fue publicado en 1801. Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
Angel Viera
C.I: 25736175
Ingeniera Mecánica IVs.
Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardano (biografia)
ResponderEliminar(24 de septiembre de 1501 - 21 de septiembre de 1576) fue un médico notable, además de un célebre matemático italiano del Renacimiento, un astrólogo de valía, y un estudioso del azar. Este filósofo y destacado enciclopedista, fue autor de una de las primeras autobiografías modernas.
También es conocido por ser el primero en dar una solución general completa de la ecuación de tercer grado y de la ecuación de cuarto grado.
Nacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, ingresó en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en distintas cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews).
Salvando diversos obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión.
En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y por ser el autor del horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él mismo había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
Angel Viera
C.I: 25736175
Ingeniería Mecánica IVs
Relación de Caspar Wessel con los números complejos
ResponderEliminarCaspar Wessel fue un matemático noruego-danés nacido el 8 de junio de 1745 en Vestby (cerca de Dröbak), Noruega.
Jonas Wessel, su padre, y su abuelo fueron ministros en la iglesia. Su madre, Marie Helene tuvo catorce hijos, de los cuales Caspar fue el sexto.
Caspar fue a la escuela de la catedral de Christiania (ahora Oslo) junto con dos de sus hermanos mayores, Johan Herman Wessel y Ole Christopher Wessel. Entró en 1761 a la universidad de Copenhague en Dinamarca, ya que en ese tiempo no había universidades en Noruega, y estudio derecho.
En 1762 su hermano, Ole Christopher Wessel, fue requerido como inspector de un proyecto de la Real Academia Danesa de Ciencias y Letras (Kongelige Danske Videnskabernes Selskab) para triangular la posición de Dinamarca. En 1764 Caspar entró al proyecto como asistente de su hermano.
En mayo de 1782 Wessel fue liberado de su trabajo con la Real Academia Danesa para que pudiera realizar un estudio trigonométrico del ducado de Oldenburg. Wessel trabajó en el estudio de Oldenburg hasta el verano de 1785, cuando regresó a su trabajo con la Real Academia Danesa. Él fue desarrollando métodos matemáticos cada vez más sofisticados, los cuales explicó plenamente en un informe que escribió en 1787. Este informe ya contenía la brillante aportación matemática de Wessel, es decir, la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1796, Wessel había terminado la triangulación de Dinamarca y utilizó los datos obtenidos para elaborar el primer mapa exacto del país. En el mismo año escribió su primer y único documento matemático en el cual expresaba la interpretación geométrica de los números complejos y lo presentó en una reunión de la Real Academia Danesa el 10 de marzo de 1797. Este documento no fue publicado hasta 1799.
Angel Viera
C.I: 25736175
Ingeniería Mecánica IVs
1} Gerolamo Cardano Nacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, ingresó en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo
ResponderEliminarexcelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en distintas cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews).
Salvando diversos obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión.
En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y por ser el autor del horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él mismo había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
Carl Friedrich Gauss nació en el ducado de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, en una familia humilde. Su abuelo era un humilde jardinero y repartidor. Su padre logró tener un modesto negocio familiar, pero no podía sufragar los estudios de sus hijos. De pequeño Gauss fue respetuoso y obediente, y ya en su edad adulta nunca criticó a su padre, que era muy estricto y rudo con él y tuvo la intención de hacerlo trabajar desde niño. El padre de Gauss falleció poco después de que Gauss cumpliera 30 años.
Desde muy pequeño, Gauss mostró su talento para los números y las lenguas. Aprendió a leer solo y, sin que nadie lo ayudara, aprendió muy rápido la aritmética elemental desde muy pequeño. En 1784, a los siete años de edad, ingresó a una de las escuelas de primeras letras de Brunswick donde daba clases un maestro rural llamado Büttner, quien corrigió rápidamente su lectura, le enseñó gramática y ortografía del alto alemán estándar (ya que la lengua nativa de Gauss era el bajo alemán), así como caligrafía y perfeccionó su talento matemático y lo animó a continuar el bachillerato, como consta en su carta para que lo aceptaran en el Lyceum; pero que usaba unos métodos severos y una estricta disciplina, lo que desagradaba a alguien tan sensible. Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números del 1 al 100 (una progresión aritmética1 ). Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente exclamando Ligget se ('ya está', en bajo alemán). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.
DIEGO ARELLANO
GUILLERMO RAMIREZ
INGENIERIA MECANICA 4 SEMESTRE
FECHA: 24/03/2017
2] Relación de Caspar Wessel (1745-1818) con los números complejos.
ResponderEliminarEn mayo de 1782 Wessel fue liberado de su trabajo con la Real Academia Danesa para que pudiera realizar un estudio trigonométrico del ducado de Oldenburg. Wessel trabajó en el estudio de Oldenburg hasta el verano de 1785, cuando regresó a su trabajo con la Real Academia Danesa. Él fue desarrollando métodos matemáticos cada vez más sofisticados, los cuales explicó plenamente en un informe que escribió en 1787. Este informe ya contenía la brillante aportación matemática de Wessel, es decir, la interpretación geométrica de los números complejos.
En 1796, Wessel había terminado la triangulación de Dinamarca y utilizó los datos obtenidos para elaborar el primer mapa exacto del país. En el mismo año escribió su primer y único documento matemático en el cual expresaba la interpretación geométrica de los números complejos y lo presentó en una reunión de la Real Academia Danesa el 10 de marzo de 1797. Este documento no fue publicado hasta 1799.
Wessel renunció a su trabajo con la Real Academia Danesa en 1805 cuando tenía 60 años. Recibió una medalla de plata de la Real Academia Danesa por sus trabajos y mapas. En 1815 fue nombrado caballero de la orden de Dannebrog.
Muere el 25 de marzo de 1818 en Copenhague, Dinamarca.
DIEGO ARELLANO
GUILLERMO RAMIREZ
INGENIERIA MECANICA 4 SEMESTRE
FECHA: 24/03/2017
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ResponderEliminarAsociación de la Ingeniería Electrónica con el Análisis de Fourier.
ResponderEliminarLas series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis
para estudiar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función
en una suma infinita de funciones.
En las ramas de la Electrónica e Ingeniería se trabajan diferentes formas de
señales tales como: sinusoidal, cuadrada y triangular. Todas estas señales
mencionadas son periódicas ósea que se repiten luego de un tiempo.
un vivo ejemplo donde se aplican este tipo de señales seria en el audio digital
"mp3" La compresión “MP3” aplica este análisis a la señal de entrada para
minimizar el uso de espacio en donde se almacenara el archivo resultante. Esto se
logra descomponiendo el sonido original en su espectro de frecuencias.
Luego se divide el rango de frecuencias del sonido original en 32 bandas que el
oído humano logra oír por separado. A estas se les aplica una TF para conseguir
otras 18 bandas de frecuencias por cada una, dando un total de 576 bandas de
frecuencia individuales. Luego de cada una de estas se remueven los
componentes que son indetectables por el oído humano. La señal resultante de
este proceso es comprimido aún más mediante una codificación de Huffmann.
Esto permite que el archivo final sea mucho más pequeño ya que se requieren de
menor cantidad de bits para almacenar las representaciones matemáticas creadas
mediante el análisis de Fourier de la señal original.
Asociación de la Mecánica Cuántica con los Espacios de Hilbert.
El espacio de Hilbert es un espacio vectorial infinitamente grande. En su momento,
esto fue una idea revolucionaria, en virtud de que todos los espacios vectoriales,
inclusive los espacios matemáticos abstractos, eran finitos. Pero afortunadamente
en su trabajo sobre ecuaciones integrales llevado a cabo en 1912 David Hilbert
tuvo la visión suficiente para captar la necesidad de tener que postular un espacio
vectorial infinitamente grande para poder proyectar todo el aparato matemático de
la Mecánica Cuántica sobre una base rigurosamente formal.
Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de
series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación
de Fourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la
mecánica cuántica.
En conclusión los espacios de Hilbert se asocian de manera muy importante con la
mecánica cuántica ya que gracias a ellos se logro captar la necesidad de tener que expresar un espacio vectorial infinitamente grande para poder proyectar todo
el aparato matemático de la Mecánica Cuántica
David Villamizar 27.086.783
Josue Pradilla 24.284.811
Yonathan Herrera 28.117.842
Carlos Ortiz 29.514.906
Ingenieria Mecanica 4to semestre
Los números complejos es un tema que ha sido muy poco estudiado por los profesores en las distintas etapas de la educación, tanto a nivel básico y diversificado como en la Universidad. Al comenzar a estudiar los números complejos, nos damos cuenta que es un sistema muy importante por integrar varias ramas de la matemática como lo son la trigonometría, la geometría y el álgebra, entonces resulta bastante interesante indagar un poco más acerca de este tema, comenzando por su historia.
ResponderEliminarIsaac Asimov, en su libro “De los números y su historia”, relata una historia en la que un profesor de Sociología en su clasificación de la humanidad agrupó a los matemáticos entre los místicos junto con los poetas y los teólogos, ya que para él los matemáticos son místicos porque creen en números que no tienen realidad, para explicarlo dijo lo siguiente, “La raíz cuadrada de menos uno. No tiene existencia. Los matemáticos lo llaman imaginario. Pero de alguna manera mística creen que tiene alguna clase de existencia”. Pero la verdad es que no hay nada de místico en ellos, son tan reales como cualquier otro.
Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados, por ser para la mayoría un poco extraños y difíciles de representar. Al comienzo los hombres solamente aceptaban los números naturales por ser los más adecuados para contar objetos que comúnmente se consideran como unidades. Pero al medir magnitudes como la longitud o el peso, las fracciones se hicieron imprescindibles. Los egipcios y babilonios se las arreglaron para elaborar métodos que les permitieron operar con fracciones. Pero los griegos descubrieron que habían cantidades definidas que no podían ser expresadas como cocientes de números enteros, la noción de número extiende más allá, ya que los griegos no aceptaban que hubieran números menores que el cero. Los números complejos aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos los cuales no poseen soluciones reales. Los matemáticos griegos que conocían métodos geométricos de resolución, consideraban estos problemas irresolubles, rechazaban el uso de números negativos por la falta de un equivalente dentro de la geometría que para ese momento era el centro de la matemática. El surgimiento de los números complejos no se debió solo a la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones cuadráticas, sino que viene también de las ecuaciones cúbicas. Más adelante con el surgimiento del álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.
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